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Alt 04.11.2004, 22:10  #1
Little Ron
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Standard Matisse ?!

Kann mir jemand für meinen Info-Vortrag am 8.11.2004 mal bitte VERSTÄNDLICH erklären, was eine Matisse ist?
Ich brauch das für den Vortrag über den Datentyp "real" bei Turbo Pascal!
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Alt 05.11.2004, 11:50  #2
MrAnderson
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Standard Re: Matisse ?!

Ich glaube, Du meinst Mantisse, oder?

Das ist nicht schwer. Der Datentyp real ist eine Gleitkommazahl. D. h. wie der Name schon sagt, dass es ist nicht unbedingt eine ganze Zahl sein muss, sondern eine Kommazahl sein kann. (Im Gegensatz zu Integer, Long oder Byte) Das besondere an dieser Kommazahl ist, dass sie eine normierte Darstellung hat in der Form 1,23456... * 10^12, also allgemein

i,x * 10^n

D. h. das Komma steht immer direkt hinter der ersten Ziffer i. Und das wird dadurch erreicht, dass das Komma entsprechend lang verschoben wird. Damit die Zahl noch stimmt, musst du aber entsprechend oft mit 10 multiplizieren oder dividieren, was durch das 10^n ausgeglichen wird.

die Mantisse ist nun das i,x. Also der reine Zahlenwert ohne den Exponenten n. Die Basis des Exponenten ist hier 10. Der Exponent ist für den Computer nicht 10, sondern 2. Genauso wie es für ihn nur die Ziffern 1 und 0 gibt. Noch allgemeiner lässt sich also schreiben:

Sei z die darzustellende Zahl, m die Mantisse, b die Basis und e der Exponent, so gilt:

z = m * b ^ e

Die Mantisse ist also der reine Zahlenwert, ohne dass du weißt ob der sich jetzt vielleicht 100 Stellen rechts oder links vom Komma befindet. Kommen wir also zum internationalen Standard IEEE754 von 1985:
Es gibt zwei Typen von Gleitkommazahlen: float und double. Float ist hierbei unter Pascal single. Double heißt, so weit ich mich erinnere unter Pascal auch double.

Eine float-Zahl besteht aus 32 Bit Information. Die 32 Bit verteilen sich auf 1 Bit Vorzeichen (also ob die Zahl positiv oder negativ ist), 8 Bit Exponent und 23 Bit Mantisse (in dieser Reihenfolge). Da nur Einsen und Nullen zur Verfügung stehen ist die Basis automatisch 2 und das Zahlensystem das Zweiersystem. Der sog. Bias beträgt 127. Wozu der Bias gut ist, erkläre ich weiter unten. Diese Dimensionen sind scheinbar willkürlich festgelegt worden. Wenn Du Dich tiefer mit der Materie befasst, wirst Du recht schnell sehen, dass diese Werte gar nicht so willkürlich sind.

Wie interpretier ich nun so eine Zahl?
Wie wir bereits wissen, legt das Vorzeichenbit fest, ob die Zahl positiv oder negativ ist. Dabei steht 1 für Minus und 0 für Plus. Dass das so, und nicht andersrum festgelegt ist, hat seinen Sinn.
Nachfolgend kommen 8 Bit Exponent. Wir wissen, dass die Basis 2 beträgt. Der Exponent selbst hat aber kein Vorzeichenbit. D. h. wir können im Exponenten nicht z. B. -11 schreiben. Um aber Zahlen <1 darzustellen, braucht man einen negativen Exponenten. Und dafür gibt es den Bias. Der Exponent, den wir aus den 8 Bit ablesen können, ist nämlich nicht der Exponent, mit dem wir rechnen. Wir müssen vorher noch den Bias abziehen.

Unklar? Hier ein Beispiel:
wir haben den Exponenten 10010011
umgerechnet in das für uns lesbare Dezimalsystem ist das 128+16+2+1 = 147
Von 147 wird nun noch der Bias, also 127 abgezogen. Also 147-127 = 20
20 ist folglich der Exponent, der tatsächlich gemeint ist. Die Zahl ist absichtlich blau, um kenntlich zu machen, dass es sich um eine Binärzahl handelt. Sonst kommen wir da noch durcheinander.

Es folgt zum Schluss die Mantisse mit 23 Stellen. Wir wissen, dass das Komma direkt hinter der ersten Ziffer steht. Daher wird dieses Komma nicht gespeichert. Außerdem wissen wir, dass es im Binärsystem nur Nullen und Einsen gibt. Deswegen muss die erste Ziffer eine 1 sein. Führende Nullen lässt man schließlich weg. Man schreibt ja auch nicht 0000004711, sondern 4711. Und da wir das wissen, wird die erste Ziffer auch nicht gespeichert. Das heißt vor den 23 Bit der Mantisse m müssen wir noch 1, einfügen. So dass dann dasteht 1,m.

Sei die Mantisse m = 00010011100000000000000
wir ergänzen also 1, vornedran, dann steht da
1,00010110000000000000000
(Im Dezimalsystem wäre das: 1 + 1/16 + 1/64 + 1/128 = 1,0859375)
Bei dieser Binärzahl wird nun das Komma so oft nach links bzw. rechts verschoben bis der Exponent 0 ist. Im obigen Beispiel ergäbe sich also
100010110000000000000,000
und das ist also die Zahl, die kodiert wurde. (Dezimal auch 1138868)

Das heißt die Zahl ist in diesem Beispiel zufällig eine ganze Zahl.

Noch ein Beispiel: Gegeben sei die dezimale Zahl -21,3330078125

kodiert wird nun so:

Das Vorzeichenbit ist 1. Die Zahl ist ja negativ. Als nächstes muss die Mantisse in eine Dualzahl umgewandelt werden. Hierzu teilen wir sie auf in einen Teil vor dem Komma (42) und einen Teil nach dem Komma (3330078125). Die 21 berechnet sich indem wir nacheinander immer wieder durch 2 teilen, und die Reste von rechts nach links notieren:

21 : 2 = 10 R 1
10 : 2 = 5 R 0
5 : 2 = 2 R 1
2 : 2 = 1 R 0
1 : 2 = 0 R 1

D.h. dezimal 21 ist binär 10101. Ähnlich beim Nachkommateil, nur dass wir Multiplizieren statt zu Dividieren und eine eventuell auftauchende Vorkommastelle als Rest behandeln:

0,3330078125 * 2 = 0,666015625 -> 0
0,666015625 * 2 = 1,33203125 -> 1
0,33203125 * 2 = 0,6640625 -> 0
0,6640625 * 2 = 1,328125 -> 1
0,328125 * 2 = 0,65625 -> 0
0,65625 * 2 = 1,3125 -> 1
0,3125 * 2 = 0,625 -> 0
0,625 * 2 = 1,25 -> 1
0,25 * 2 = 0,5 -> 0
0,5 * 2 = 1 -> 1

glücklicherweise kommen wir zu einem Ende. Andernfalls hätten wir ewig weiterrechnen können und hätten uns dann mit einer begrenzten Genauigkeit begnügen müssen.

die Mantisse ist also (inklusive Komma)
10101,0101010101 (rein zufällig so regelmäßig )
jetzt müssen wir aber das Komma noch verschieben. Nämlich so, dass es unmittelbar rechts von der linkesten Eins ist. Also
10101,0101010101 = 1,01010101010101 * 2^4

Daraus folgt die Mantisse m, die gespeichert wird ist 01010101010101
Den Exponenten müssen wir noch berechnen. Wir wissen 4 ist binär 100. Der Bias beträgt 127 oder binär 1111111
1111111 + 100 = 10000011
Und das ist dann unser Exponent, den wir speichern.

Ist eine Mantisse (Exponent) kürzer als 23 (8) Stellen, füllt man sie von rechts (von links) mit Nullen auf.

D.h. unsere dezimale Zahl -21,3330078125 ist als float geschrieben:

11000001101010101010101000000000

Bei double precision ist's nicht viel anders, nur mit 64 Bit, darunter 11 Bit Exponent, 52 Bit Mantisse und ein Bias von 1023. Zu beachten ist: Die Null ist so nicht darstellbar. Es gibt dafür aber eine Sonderkombination. Ebenso gibt es Spezialkombination für Division durch 0 bzw. +-unendlich. Außerdem kann es passieren, dass Zahlen, die dezimal ganz harmlos aussehen, ein binäres Chaos ergeben und Genauigkeit verloren geht. So kann es passieren, dass z. B. 0,2 umgewandelt in eine Gleitkommazahl und wieder zurück nur 0,1999... ergibt.

Noch Fragen? Ich kann Dir fast alles über diese Zahlen sagen, hab schon ganze Seiten mit den Dingern gerechnet, Automaten entworfen, die damit rechnen, Assemblerprogramme geschrieben, die das schnellstmöglich umwandeln und Algorithmen, die effizient damit rechnen. Ist quasi mein täglich Brot.

PS: Was ich vorhin über das Vorzeichenbit der Mantisse mit dem Zweierkomplement und leichter rechnen geschrieben hab, vergiss schnell wieder. Hab da vorhin drüber nachgedacht und da kam mir, dass das Unsinn war. In der Richtung ist schon was möglich, aber nicht so direkt, wie man meinen könnte und ich glaube für deine Zwecke daher etwas zu kompliziert.

Zuletzt bearbeitet von MrAnderson, 06.11.2004 um 11:50. Grund: inhaltlichen Fehler korrigiert single <-> real
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Alt 05.11.2004, 20:50  #3
Little Ron
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Standard Re: Matisse ?!

Danke Mr. Anderson
Is ein bisschen schwer zu verstehen für mich !
Also kann die Mantisse nur kleiner als 10 sein, stimmts?
was hat denn das mit dem Bias auf sich!
Ich will dich nicht nerven, aber du bist mir eine suuuuper Hilfe!

Du sagtest, du machts Algorithmen, hast du auch Erfahrung in Turbo Pascal?
Wenn ja, würd ich gerne noch wissen, wie man die untertypen von real (--> also: single, double,extended ) im Programm deklariert.
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Alt 05.11.2004, 20:57  #4
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Standard Re: Matisse ?!

achso, der bias is immer 127, oder?
wenn man als exponent sag ich mal -6 haben möchte, muss ich als exponent 121 hinschreiben(binär versteht sich), ja?
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Alt 05.11.2004, 22:22  #5
Aphex
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Re: Matisse ?!


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Alt 06.11.2004, 10:50  #6
Polt
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Standard Re: Matisse ?!

@Aphex:
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Tut man es im feuchten Gras,
mag das nicht der Ischias!
48. Poltsche Bauernregel, nach einer Eingebung von Gastreferent Magma
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Alt 06.11.2004, 15:00  #7
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Standard Re: Matisse ?!

Zitat:
Original geschrieben von Little Ron
Also kann die Mantisse nur kleiner als 10 sein, stimmts?
was hat denn das mit dem Bias auf sich!
Ich will dich nicht nerven, aber du bist mir eine suuuuper Hilfe!

Du sagtest, du machts Algorithmen, hast du auch Erfahrung in Turbo Pascal?
Wenn ja, würd ich gerne noch wissen, wie man die untertypen von real (--> also: single, double,extended ) im Programm deklariert.

öh, nein. Da muss ich irgendwas missverständlich ausgedrückt haben. Eine Mantisse kann verschieden groß sein. Hängt vom Datentyp ab. Bei single ist sie 23 Stellen lang, bei double 52 Stellen.

Anderes Beispiel: Bei Taschenrechnern hast du nur eine begrenzte Anzahl an Stellen. Bei den meisten Geräten sind das 8 Stellen. Dann hat der Taschenrechner eine 8-stellige Mantisse. Würden maximal 10 Stellen angezeigt werden, hätte er eine 10-stellige Mantisse. Würden bis zu 2000 Stellen angezeigt werden, wäre das eine 2000-stellige Mantisse. Die Mantisse ist einfach der zur Verfügung stehende Platz für Wertegenauigkeit.
Für die Zahl
1,23456 * 10^57
reicht eine 6-stellige Mantisse. 5 Stellen würden ja nicht reichen für 123456.

Der Begriff Mantisse in der Informatik mag anfangs vielleicht etwas verwirrend sein, da er nicht deckungsgleich mit dem Begriff in der Mathematik ist. So kannst du bei den IEE-754-Zahlen eine Mantisse finden, die nur aus den Stellen nach dem Komma besteht. Die Vorkommastelle 1 ist aber nicht dabei. Wenn du die dann beim Entschlüsseln der Zahl wieder anfügst, sprichst du trotzdem vom Ganzen als Mantisse, also nicht nur der Nachkommateil.

Oder noch ein Beispiel: In der Physik interessieren einen oft nur 3 geltende Ziffern. Hier würde eine Mantisse der Länge 3 ausreichen. Anders gesagt: Die Mantisse ist der Speicher für geltende Ziffern.

Jetzt klarer?


Zu dem Bias. Der ist bei float-Zahlen gemäß dem IEEE-754-Standard 127. In Pascal heißt dieser Datentyp single. (Hatte ich oben irrtümlich als real bezeichnet)

Vom Aufbau sind sie aber alle gleich: real, single, double und extended.

Alle haben ein Vorzeichenbit, eine Mantisse bestimmter Länge, einen Exponenten bestimmter Länge, einen bestimmten Bias und die Basis 2.

hier eine kurze Übersicht:

real: 48 Bit*
VZB|39M|08E
Bias = 129

single: 32 Bit
VZB|08E|23M
Bias = 127

double: 64 Bit
VZB|11E|52M
Bias = 1023

extended: 80 Bit
VZB|15E|01I|63M
Bias = 16383

(comp: 64 Bit, Zweierkomplement)

in der ersten Zeile steht jeweils der Name des Datentyps gefolgt von der Länge. In der zweiten Zeile steht, wie so eine Zahl aufgebaut ist. VZB steht für Vorzeichenbit. E steht für Exponent, wobei die Länge in Bit vornedran steht, 11E bedeutet hier also 11 Bit Exponent. Entsprechend steht M für Mantisse.
Bei extended gibt's noch so ein Spezial-Bit. Dieses I. Da wurde versucht, eine Lösung dafür zu finden, ob eine Mantisse nun eine Vorkommastelle hat, oder nicht. Ist für Dich aber vermutlich nicht von großer Bedeutung.
comp habe ich nur der Vollständigkeit halber aufgelistet, weil sich dieser Typ auch auf die FPU stützt, er unterscheidet sich aber grundlegend von den anderen.
*real ist ein Datentyp, der im Gegensatz zu den IEEE-Zahlen keine FPU (Floating Point Unit), also keinen Co-Prozessor braucht. Um zu verstehen, was das bedeutet, ein kurzer historischer Exkurs:

Mit der Entwicklung des Transistors begann auch wenig später die Entwicklung der ersten Mikrochips und damit der Prozessoren wie wir sie heute kennen. Die Grenzen der Architektur waren eng, die Kosten groß und PCs wurden nur ganz allmählich entwickelt. Die Anwendungsbereiche hatten andere Schwerpunkte und es gab nur wenig Standards. Der IEEE-754-Standard wurde von 1977 bis 1985 entwickelt. Mit Kommazahlen zu rechnen war etwas für Programmierer, die sich dann damit abquälen durften, Ganzzahlrechnung auf Kommazahlen zu übertragen. Prozessoren konnten mit Kommazahlen nichts anfangen. Es dauerte bis 1980 als Intel die erste FPU (8087) auf den Markt brachte. Diese war aber noch weit von IEEE-754 entfernt, und auch die zweite FPU (80287) konnte im Nachhinein nicht die Anforderungen dafür erfüllen. Und so war es nicht selbstverständlich, dass ein PC eine FPU hat. Trotzdem mussten Programme in der Lage sein, mit Kommazahlen umgehen zu können. Und so wurden in höheren Programmiersprachen Datentypen entwickelt, die nicht für eine FPU geschaffen waren, sondern durch entsprechende Algorithmen einigermaßen effizient vom Hauptprozessor verarbeitet werden konnten. Das war bei Pascal der Datentyp real. Real gab es schon in der ersten Pascal-Version wie sie Wirth vorsah, im Gegensatz zu den anderen Kommazahlen, wie single oder double, die erst im Laufe der Zeit hinzukamen. Heute gibt es nur einige historische PCs, die keine FPU haben. Die letzten Intel-kompatiblen waren die 486-SX-Rechner, ab dem Pentium war die FPU auf dem Chip mit integriert. Wobei zu erwähnen ist, dass bei den ersten Pentiums ein gravierender Design-Fehler unterlaufen ist, was zur Folge hatte, dass bei Divisionen mit der FPU das Ergebnis nur ungefähr stimmte. Der letzte Grund, warum auch noch Jahre später Software produziert wurde, die auf den Co-Prozessor verzichtete. Aber ich schweife ab.

Real ist nicht einheitlich umgesetzt. D. h. in Turbo Pascal sieht eine real-Zahl anders aus als z. B. in GNU Pascal. Oben habe ich als Grundlage Turbo Pascal 7 von Borland verwendet. Im Folgenden gehe ich immer von diesen real-Zahlen von Turbo Pascal 7 aus.

Auffällig ist die andere Anordnung der Zahl. In allen gängigen modernen Gleitkommaformaten steht der Exponent vor der Mantisse. Bei real-Zahlen steht die Mantisse vor dem Exponenten. Real ist also eine Gleitkommazahl-Typ, der aber keinen Co-Prozessor braucht. Single, double, extended und comp hingegen sind unter Turbo Pascal Datentypen, die nicht ohne Co-Prozessor verwendet werden können.

Single, double und extended sind also keine Untertypen von real. Diese vier sind alle Untertypen von Gleitkommazahlen, aber kein Typ ist ein Untertyp einer anderen.

Die Deklaration ist bei allen Datentypen gleich. Variablen deklarierst du mit

var <name> : <typ>

das gilt für integer, real, double, extended, file of <typ>, usw.

ein paar Beispiele:

var ganzzahl : integer;

var kommazahl : real;

var nocheine : double;

wobei Du das Wort var nur einmal verwendest. Bei mehreren Variablen sieht das also so aus:

var ganzzahl : integer;
datei : file of string;

mehrere Variablen vom selben Typ kannst Du durch Kommas getrennt hintereinander wegschreiben und abschließend einmal den Typ angeben. Also z. B.

var ganzzahl1, ganzzahl2, nochsoeine, ichkannnichtgenugdavonbekommen : integer;
jetztnekommazahl, komma2 : double;

Falls der Compiler meckert:

Error 116: Must be in 8087 Mode to compile this.

folge diesem Hinweis und aktiviere den Co-Prozessor in den Compiler-Einstellungen. (Bei Borland Turbo Pascal unter >Options >Compiler >Numeric Processing >8087/80287)

Ein kleiner Hinweis am Rande: Falls Du unter Pascal viel mit Kommazahlen programmierst, verwende single/double als Datentypen. Die FPU rechnet mit Kommazahlen schneller als der Hauptprozessor. Außerdem kann der dann schon an anderen Dingen weiterrechnen. Real ist an PCs heute praktisch ausgestorben. Vielleicht findet man's jetzt wieder auf Handys, Haushaltgeräten oder so.

PS: Ja, in Turbo Pascal habe ich jahrelang programmiert.

PPS: Ja, 121 stimmt.

Zuletzt bearbeitet von MrAnderson, 06.11.2004 um 15:54.
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Alt 06.11.2004, 15:36  #8
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Standard Re: Matisse ?!

Wenn Du das alles verstanden hast, müsstest Du bestimmen können,

a) welchen der Typen real, single oder double die Zahl 11111111111111111111111111111111 hat und welchen Wert sie theoretisch haben müsste, wenn es nicht eine Sonderkombination wäre.

b) wieviele verschiedene Zahlen sich jeweils darstellen lassen. (auch wieder ohne Berücksichtigung der Sonderkombinationen)

c) wie groß die größte bzw. die kleinste Zahl ist, die sich mit real, single oder double darstellen lässt, wenn man Sonderkombinationen außer Acht lässt.

d) welche Zahlen am nähesten bei Null liegen und sie sowohl als Dezimalzahl als auch als Folge von Einsen und Nullen darstellen.

e) wie man zwei single-Zahlen
-> addiert
-> subtrahiert
-> multipliziert
-> dividiert

Es kann sein, dass einzelne Bruchstücke in meinen Beschreibungen fehlen. Schreib einfach, wenn was fehlt. Wenn Du die obigen Aufgaben alle lösen kannst, beherrschst Du den Inhalt einiger Vorlesungen des Grundstudiums in Informatik. Alles kein Hexenwerk, kann höchstens sein, dass ich mich irgendwo unverständlich ausgedrückt hab. Wenn Du Zeit und Lust hast, kannste ja ne Musterlösung schreiben und online stellen.

Zuletzt bearbeitet von MrAnderson, 06.11.2004 um 15:49.
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Alt 06.11.2004, 16:11  #9
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Standard Re: Matisse ?!

Zitat:
Original geschrieben von MrAnderson
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Ich mein vom Betrag...
Ist die Mantisse vom Betrag immer kleiner als 10?

Danke für deine Erklärungen , und für die Hilfe auf meine Fragen!
Ich werd erst mal rechnen und dann stell ich dir Fragen, wenn ich noch welche hab, OK?
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Alt 06.11.2004, 17:41  #10
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Standard Re: Matisse ?!

Mir fehlen noch 3 Dinge für den Vortrag!
- Beschreiben sie die Darstellung von real-Werten und gehen sie auf dessen Formatierungsmöglichkeiten in der Ausgabe ein!
- gibt es spezielle Konstanten innerhalb des datentyps real?
- untersuchen sie, ob ein- und Ausgaben für werte dieses Datentyps möglich sind

Kannst du mir da helfen?
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